一、定義方式不同

0范數是指向量中非零元素的個數。它并不是一個范數，而是一種計數。在某些情況下，0范數可以用來表示向量的稀疏性，即向量中非零元素的數量。

1范數（也稱為L1范數）是指向量中各個元素的絕對值之和。換句話說，1范數衡量了向量中各個元素對整體的貢獻程度，其計算方式是將各個元素的絕對值相加。

2范數（也稱為L2范數）是指向量中各個元素的平方和的平方根。2范數可以用來衡量向量的長度或者大小，其計算方式是將各個元素的平方相加，然后取平方根。

二、特性不同

0范數具有稀疏性特性，它能夠用來衡量向量中非零元素的個數，從而表示向量的稀疏程度。

1范數具有稀疏性和不變性的特性。它能夠使向量中的一些元素變為零，從而實現特征選擇和降維，同時1范數對異常值具有一定的魯棒性。

2范數具有平滑性和連續性的特性。它能夠衡量向量的整體大小，并且在求解優化問題時具有較好的數學性質。

三、效果不同

0范數常用于稀疏信號恢復、特征選擇等問題中，能夠獲得更加稀疏的解。

1范數常用于Lasso回歸、壓縮感知等問題中，能夠實現特征選擇和降維，同時對異常值具有魯棒性。

2范數常用于嶺回歸、主成分分析等問題中，能夠獲得平滑的解，具有一定的抗干擾能力。

四、應用不同

0范數在圖像處理、信號處理等領域中有廣泛的應用，可以用來表示圖像和信號的稀疏性。

1范數在機器學習、統計學習等領域中常被用于特征選擇、模型稀疏化等問題。

2范數在數據挖掘、優化算法等領域中常用于求解優化問題、降維等。

0范數、1范數、2范數是數學中常用的范數概念，它們在定義方式、特性、效果和應用上都存在差異。熟練掌握它們的特點和應用場景，有助于我們在實際問題中選擇合適的范數來進行處理和求解。

延伸閱讀1：范數是什么意思

范數（Norm）是一個數學概念，用于衡量向量的大小或長度。在數學中，向量是由一些有序數構成的有向線段，而范數就是度量這些數的大小和相似度的方法。范數可以用于衡量向量在空間中的大小和相似度，并在許多領域中都有廣泛的應用。

在向量空間中，范數通常表示為||x||，其中x是向量。范數必須滿足一定的條件，包括：

根據這些條件，我們可以定義不同的范數，例如：

范數在機器學習和數據科學中有著廣泛的應用，例如在正則化、特征選擇、聚類等領域中。通過選擇合適的范數，可以幫助我們更好地理解和處理向量數據。